회로이론(13) : 마디해석법 #5 [종속 전압원을 갖는 회로]

<Nodal Analysis Techniques>

종속 전압원을 갖는 회로

 

1) 종속 전압원이 기준 마디와 연결되어 있는 회로

 

 종속(제어) 전원을 갖는 회로는 앞에서 했던 것과 같은 방식으로 해석할 수 있다. 다음 회로에서 I₀를 구해보자.

 

 

 종속 전압원이 기준 마디와 연결되어 있으므로 V₁을 바로 알 수 있다.

 

V₁ = 2kI_x

 

 이제 한 마디(V₂)에 대해서만 KCL을 적용시키면 된다.

 

KCL @ node V₂

 

 이 KCL 식에 앞에서 구한 V₁을 대입하면 I_x에 대한 제어식을 얻을 수 있다.

 

제어식

 

 제어식을 V₁의 식에 대입하여 V₁과 V₂의 관계식을 얻고 다시 KCL 식을 이용하여 구하면 각 마디 전압을 구할 수 있다.

 

 

  전류가 흐르는 가지의 양 마디 전압을 모두 구했으므로 전류 I₀를 구할 수 있다.

 

 

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2) 종속 전압원이 두 개의 비기준 마디 사이에 연결된 회로

 

 

 마찬가지로 이 회로에서 I₀를 구해보자. 먼저 회로를 전체적으로 보고 바로 구할 수 있는 것들을 추려낸다.

 

V₃ = 6 V

V₂ = V_x

V₁과 V₂ 마디를 하나로 묶어서 슈퍼마디(supernode)로 쓸 수 있다.

 

 이 회로에서는 총 3개의 비기준 마디를 가지고 있다. 그 중에 하나는 그 값을 구했고 나머지 두 마디는 하나의 슈퍼마디로 묶었다. 그렇다면 우리는 하나의 마디에 대해서만 풀어보면 된다.

 슈퍼마디에 대해서 KCL을 적용한다.

 

KCL @ supernode

 

 슈퍼마디에 대한 제약 조건식을 구하도록 한다.

 

제약 조건식

 

 이제 주어진 식과 값들을 풀면 다음과 같이 된다.

 

 

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3) 마디해석법 활용 TIP

 

1단계

 회로에서 마디의 수를 구한다. 기준 마디를 정하고 기준 마디와 다른 비기준 마디 사이에 마디 전압을 지정한다. 모든 마디 전압은 기준 마디에 대해 양의 값으로 가정한다.

 N개의 마디를 갖는 N - 1개의 마디 전압이 지정되며, 따라서 마디 전압에 대해 N - 1개의 1차 독립 방정식을 세운다.

 

2단계

독립 전원이든 종속 전원이든 전압원에 대한 제약식을 세운다. 이때 KVL을 이용하여 마디 전압의 합으로 나타낸다.

각 조건식은 반드시 1차 독립 식으로 나타나며, N_v개의 전압원은 N_v개의 선형 독립 식을 낳게 된다. 각 종속 전원에 대해서는 마디 전압의 항으로 제어 변수를 표현한다.

 전압원(독립 or 종속)이 기준 마디와 비기준 마디 사이 또는 두 개의 비기준 마디 사이에 연결되어 있는 경우가 있다. 한 개의 전압원과 이 전원에 연결된 두 개의 마디로 하나의 슈퍼마디를 형성한다.

 

3단계

 나머지 N - 1 - N_v개의 선형 독립 식을 세우기 위해 KCL을 이용한다.먼저 전압원에 연결되어 있지 않은 각 비기준 마디에서 KCL을 적용한다. 이어서 슈퍼마디에서 KCL을 적용한다.

 KCL 식을 세울 때 종속 전류원은 독립 전류원처럼 취급한다. 그리고 각 종속 전류원에 대해 마디 전압의 항으로 제어 변수를 나타낸다.

 

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