회로이론(12) : 마디해석법 #4 [독립 전압원을 갖는 회로 - 슈퍼마디(supernode)]
전기과 팡팡이2020. 2. 7. 23:48
728x90
<Nodal Analysis Techniques>
독립 전압원을 갖는 회로
1) 독립 전압원이 기준 마디에 연결되어 있는 회로
이 회로에서는 3개의 비기준 마디 V1, V2, V3가 주어져 있다. 이 마디 전압을 구하기 위해서는 각 마디에 대하여 KCL 식을 세워야 한다. 즉 3개의 선형 독립 방정식을 구해서 3개의 방정식을 연립하여 풀어야 한다.
그러나 독립 전압원이 기준 마디에 연결되어 있다. 이것이 무엇을 의미하냐면, 복잡하게 방정식을 풀 필요가 없다는 것이다. 우리는 한 가지에서 전압을 구하는 방법을 알고 있다.
위 회로에서 저항에 걸리는 전압을 구하는 방법을 보자
V1 - V2 =V12kΩ
즉 소자에 이어진 한 마디에서 다른 마디의 전압을 빼면 된다. 12V의 독립 전압원을 보자 전압원의 음단자는 기준 마디에 연결되어 있다. 기준 마디의 전압은 0V라고 이전에 설명한 적이 있다. 마디 전압 V1에서 기준 마디의 전압 0V를 뺀 값이 12V가 되어야 하는 것이다. 따라서
V1 - 0 = 12 V V1 = 12 V
6V의 독립 전압원을 보면 기준 마디에 전압원의 양단자가 연결되어 있다. 이 독립 전압원이 기준 마디에 대하여 6V의 값을 갖는다. 기준 마디 전압 0V에서 V3의 값을 뺀 값이 6V가 되어야 한다는 것이다. 따라서
0 - V3 = 6 V V3 = -6 V
혹은 다르게 생각 할 수도 있다. 마디 전압 V3와 6V의 값을 합한 것이 기준 마디 전압 0V가 되어야 한다고 봐도 된다.
우리는 회로를 해석하기 전에 전체적인 회로의 구성을 봐야 한다. 그렇지 않으면 아마 우리는 마디 전압 V1, V3처럼 쉽게 구할 수 있는 값들을 복잡하게 KCL을 써서 구하고 있는 헛수고를 하고 있을 것이다.
이렇게 우리는 3개의 미지 마디 전압 중에 2개를 구했다. 이제 하나의 마디에 대해서만 KCL 식을 구하면 된다.
KCL @ node V1
2) 독립 전압원이 두 개의 비기준 마디 사이에 연결된 회로
만약 미지 가지 전류 I1, I2를 구하기 위해 무작정 각 마디에 KCL을 적용하여 회로를 해석하고자 하면 절대 불가능할 것이다. 직접 해보기만 해도 무언가 이상한 점을 느낄 것이다. 기존에 KCL로 해석하던 회로와는 조금 다르다.
원래는 가지 전류를 구하기 위해서 양 마디의 전압을 빼고 그 가지를 지나는 소자의 저항으로 나누면 가지 전류가 되었다. 하지만 이 회로에서는 그러한 방식으로는 독립 전압원을 지나는 가지 전류를 구할 수가 없어서 KCL을 적용할 수가 없는 것이다. 그렇다면 이 회로는 어떻게 해석해야 할까?
그래서 필요한 것이 슈퍼마디(supernode)이다. 슈퍼마디를 적용한 회로는 다음과 같다.
슈퍼마디의 역할이 어떤 것인지 감이 올 것이다. 안 오면 말고. 두 마디를 묶어서 하나의 마디로 보는 것이다. 하나의 마디에 대한 하나의 KCL식은 금방 풀어낼 수 있다. 물론 하나의 식 안에 2개의 미지수 있다면 풀지 못하겠지만, 두 미지수 V1, V2를 하나로 묶을 수 있는 방법을 알고 있다.
독립 전압원의 값 12V는 V1에서 V2를 뺀 값임을 알고 있다. 따라서
V1 - V2 = 12 V V2 = V1 - 12
이렇게 되면 슈퍼마디의 좌측은 V1,우측은 V1 - 12 이다. 이제 이렇게 하나로 묶인 슈퍼마디에 KCL을 적용해 보자.
이 마디에서 나가는 전류의 합은 0이라는 해석을 할 때 주의 할 점은
좌측에서 나가는 전류를 계산 할 때는 V1을 적용하고,
우측에서 나가는 전류를 계산 할 때는 V1 - 12를 적용하여 풀도록 해야 한다.
KCL @ supernode
나머지 가지 전류의 값은 옴의 법칙을 이용해서 구하면 이 회로의 해석은 끝나게 된다. 재밌는 점은 슈퍼마디에서 KCL을 적용한 것과 마찬가지로 기준마디에서 KCL을 적용하면 같은 식이 나온다.
이런 회로의 해석에서 유념해야 할 것이 있다. 독립 전압원을 포함하는 어떤 마디(기준 마디포함)에서도 KCL을 적용하지 않는다는 것이다.
