<Nodal Analysis Techniques>
독립 전류원만 갖는 회로
위 회로를 보면 3개의 마디가 있으며, 그중 node 3(GND)이 기준 마디로 되어 있다. 2개의 미지 마디 전압을 구하기 위해서는 2개의 선형 독립인 KCL 식이 필요하다. node 1(v1), node 2(v2) 두 마디에서의 전압은 기준 마디에 대해서 측정한다.
각 전류는 회로에 표시된 방향으로 흐른다고 가정한다. 만약 실제로 얻어지는 전류의 방향이 가정한 방향과 반대로 흐른다면, 회로 해석 결과는 전류가 음의 값으로 얻어질 것이다. 마디해석법의 핵심은 KCL을 옴의 법칙과 연계하여 사용하는 것이다.
각 node에서 KCL을 적용해보자.
@ node 1
- iA + i1 + i2 = 0
- iA + (v1 - 0)G1 + (v1 - v2)G2 = 0
or
(v1 - 0)G1 + (v1 - v2)G2 = iA
@ node 2
- i2 + iB + i3 = 0
- (v1 - v2)G2 + iB +(v2 - 0)G3 = 0
or
- (v1 - v2)G2 + (v2 - 0)G3 = iB
이러한 회로 해석법은 미지수 v1과 v2에 대한 2개의 연립 방정식을 낳는다. 이 식들을 편리한 기법을 이용하여 그 해를 구할 수 있다.
선형 독립 연립 방정식을 푸는 3가지 기법이 있다. 이에 대한 자세한 설명은 나중에 상세히 설명하도록 하겠다.
1. 가우스 소거법(Gaussian elimination)
2. 행렬 해석법(matrix analysis)
3. 수학적 소프트웨어(MATLAB)
위 회로를 방금 소개한 3가지 기법을 이용하여 해석해 보도록하겠다. 먼저 각 소자의 값이 다음과 같이 주어졌다고 가정한다. 주어진 값을 이용하여 미지의 마디 전압과 가지 전류를 구하도록 한다.
(1) 가우스 소거법(Gaussian elimination)
node 1 과 node 2에서 구한 방정식에 위의 소자값을 대입한다.
이 식을 정리하여 다시 쓴다.
가우스 소거법을 사용하여 첫 번째 식에서 V1을 V2의 항으로 나타내고, 그 식을 두 번째 식에 대입한다.
여기서 구한 V2의 값을 다시 V1을 V2의 항으로 표시한 식에 대입한다.
이것이 가우스 소거법을 사용한 방법이다. 나머지 미지 가지 전류의 값은 옴의 법칙을 이용하여 구하면 된다.
(2) 행렬 해석법(matrix analysis)
행렬식의 일반적인 형태
행렬식의 해는 다음과 같으며 이 식에 위의 각 행렬값을 대입하여 풀도록 한다.
G의 역행렬을 계산하려면 수반 행렬(adjoint matrix)과 행렬식(determinant)를 구해야 한다.
역행렬을 계산하기 위해 필요한 수식들을 모두 구했으므로 대입하여 풀도록 한다.
마찬가지로 미지 마디 전압값을 구했으니 나머지 미지 전류값은 옴의 법칙을 사용하여 구하면 된다.
(3) MATLAB
KCL을 통해 구한 두 개의 방정식에 양변에 12k를 곱하여 간단한 식으로 만들고 이를 행렬식으로 나타내도록 한다.
이제 MATLAB 프로그램을 사용하여 해를 구한다. 데이터의 값과 해는 다음과 같다.
>> G = [3 -2; -2 4]
G =
3 -2
-2 4
>> I = [12; -48]
I =
12
-48
>> V = inv(G) * I
V =
-6.000
-15.000
3가지 기법을 모두 사용하여 마디 전압을 구하였다. 이제 옴의 법칙을 이요해 미지 가지 전류를 구할 수 있다.
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