회로이론(9) : 마디해석법(Nodal Analysis Techniques) #1

이번엔 회로 해석법 중에 앞서 배웠던 키르히호프의 법칙과 옴의 법칙 외에 새로운 방법을 배울 것이다.

마디해석법과 폐로해석법이다. 언뜻 보기엔 마디와 폐로가 나와서 키르히호프의 법칙과 헷갈릴 수도 있다. 키르히호프의 법칙 같은 경우 전류 법칙은 한 '마디'에 대한 I/O(in/out) 전류를 이용한 것이고, 전압 법칙은 한 '폐로'에 대한 에너지 보존 법칙을 이용한 것이기 때문이다.

키르히호프의 법칙과 마디 및 폐로해석법은 마디와 폐로를 이용한 서로 비슷하지만 다른 방식으로 하는 회로해석법이다.

 

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<Nodal Analysis Techniques>

 

 먼저 마디해석에서는 마디 전압들을 회로 변수로 취한다. 기준이 되는 하나의 마디를 정하고, 이 기준 마디에 의해 다른 마디의 전압이 정해진다. 이 기준이 되는 마디를 보통 접지(ground)라고 한다. 접지에서는 전위가 0이다.

 

마디 전압을 알고 있는 회로

 

 회로에서 전압 V_S, V_a, V_b, V_c는 모두 기준 마디인 GND에 대한 전압이다. 우리가 각 마디 전압을 알고 있다면, 어느 가지의 전류나 회로 소자에서의 공급 or 흡수 전력을 계산할 수 있다. 이는 소자의 양단 전압을 알기 때문이다.  

 예를 들어 V₁의 전압을 구하고자 한다면, 9kΩ 저항 양단 사이의 전위차를 구하면 된다. V_S와 V_a를 알고 있으므로 바로 구할 수 있다.

 

 

 이 식은 실제로 왼쪽 끝 폐로에 KVL을 적용한 것이다.

 

 

 같은 방법으로 나머지 V₃, V₅를 구할 수 있다.

 

 

 이제 각 저항에 흐르는 전류는 위의 식들을 가지고 옴의 법칙을 적용하자.

 

 

 

 기준이 되는 마디 GND는 전위가 0 이기 때문에  I₂와 I₄의 식은 위와 같이 되는 것이다. 이 계산 방식은 결국 소자의 양 마디의 전압을 빼고 저항값으로 나누어서 전류를 구한 것이다.

 그러나 양 마디의 전압이 모두 동일한 기준 마디를 갖고 있는 경우에만 해당하므로 회로를 이 방식으로 회로를 해석할 때는 꼮 양 마디의 전압이 공통된 기준 마디를 가지고 있는지 한번 확인을 하길 바란다.

 

다중 마디를 갖는 회로

 

 이 회로에서 V₁~V₄는 접지를 기준으로 각 마디에서의 전압을 나타낸다. 그러면 다음과 같은 KVL 방정식을 구할 수가 있다.

 

 

 이 식을 다시 전류에 대한 방정식으로 정리는 한다.

 

 

추가적인 KVL 방정식,

 

 

 마디해석법에서는 KCL 식이 이용되는데 이들 식 내에서 변수는 회로의 미지 마디 전압이 된다. N개 마디의 회로에서 기준 마디를 하나 선택하고 나머지 N - 1개의 마디에서의 전압은 기준 마디에 대해서 측정된다.

 회로망 토폴로지(topology)를 이용하면, N - 1개의 미지 전압을 구하려면 N - 1개의 선형 독립인 KCL 식이 필요하다는 것을 입증할 수 있다. 다중 마디 회로에서는 이 과정을 통해 N - 1개의 미지 마디 전압이 변수인 N - 1개의 선형 독립인 연립 방정식이 나온다.   *** 그 이유에 대한 설명은 이전의 공부에서 확인할 수 있다. (아래 링크 참고)

 모든 선형 독립인 방정식을 구하게 되면 나머지는 수학적 계산의 문제이다. 이전에 배웠던 것들은 모두 활용하여 미지수를 구하면 된다.

 

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https://dailypangpang.tistory.com/21

회로이론(3) : 키르히호프(Kirchhoff)의 법칙

 

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