회로이론(3) : 키르히호프(Kirchhoff)의 법칙

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 앞에서 배웠던 옴의 법칙을 이용하여 회로를 해석할 때는 하나의 전원과 직병렬로 연결된 저항으로 이루어진 회로도에서 쉽게 적용할 수 있었다. 그러나 앞으로 다룰 회로에서는 여러 개의 전원이 들어가게 된다. 그렇기 때문에 키르히호프의 법칙을 이용하여 회로를 해석하는 방법을 배울 것이다. 키르히호프의 법칙은 회로 해석 방법 중에서 가장 기초적이지만 중요하므로 충분히 이해하고 넘어가야 한다.

 

<용어 정리>

집중 정수 회로(lumped-parameter circuit)

: 소자끼리의 상호 접속은 저항 값이 0인 도체(전선)인 완전 도체로 이루어진다고 가정되어, 회로 내에서의 에너지가 각 소자에만 집중되는 회로.

마디(node)

: 2개 이상의 회로 소자의 접속점

폐로(loop)

: 회로 내를 통하여 이루어진 하나의 폐경로(closed path)를 말하며, 어느 마디(node)도 2번 이상 통과하지는 않는다.

가지(branch)

: 하나의 회로 소자와 그 소자의 양 끝에 있는 마디들을 포함하는 회로의 일부분. 즉 하나의 소자만을 포함하여 노드와 노드를 연결하는 부분이다.

 

제 1 법칙. 키르히호프의 전류 법칙(Kirchhoff's current law: KCL)

 

: 임의의 마디에 흘러들어 가는 전류의 대수적 총합은 0이다.

 임의의 마디에서 흘러나오는 전류의 대수적 총합은 0이다.

 임의의 마디로 흘러들어 가는 전류의 총합은 그 마디에서 흘러나오는 전류의 총합과 같다.

이렇게 여러 가지 다른 말로 표현이 가능하다.

 

 

 i_j(t)는 j번째 가지를 통하여 마디로 흘러들어 가는 j번째 전류이며 N은 그 마디에 연결된 가지의 수이다. 

 전류는 전하의 이동임을 알고 있다. 즉 여러 개의 전하가 마디로 들어간다면 그 마디에서 나오는 전하의 수는 들어갈 때의 수와 같아야 한다. 전류 법칙은 전하 보존의 원리에 근거한다.

 

(a)와 (b)의 회로도는 같은 회로도이다.

 

(b) 회로도 마디 3에 전류 법칙을 다양한 형태로 적용하면

 

i₂(t) - i₄(t) + i₅(t) - i₇(t) = 0     (임의의 마디에 흘러들어 가는 전류의 대수적 총합은 0이다.)
- i₂(t) + i₄(t) - i₅(t) + i₇(t) = 0  (임의의 마디에서 흘러나오는 전류의 대수적 총합은 0이다.)
i₂(t) + i₅(t) = i₄(t) + i₇(t)         (임의의 마디로 흘러들어 가는 전류의 총합은 그 마디에서 흘러나오는 전류의 총합과 같다.)

 

(b) 회로도에서 1~5번 노드(node)에서 KCL을 적용한 식은

 

(@node1) - i₁(t) + i₂(t) +i₃(t) = 0
(@node2) i₁(t) - i₄(t) + i₆(t) = 0
(@node3) - i₂(t) + i₄(t) - i₅(t) + i₇(t) = 0
(@node4) - i₃(t) + i₅(t) - i₈(t) = 0
(@node5) - i₆(t) - i₇(t) + i₈(t) = 0

 

 앞의  1~4번 노드에서의 식을 모두 더하면 5번 노드의 식이 된다.  이것은 연립 방정식이 서로 선형 독립이 아니라는 것을 의미한다. 그러나 1~4번 노드의 식은 서로 선형 독립임을 보일 수가 있다. 즉 5번 노드의 식이 없더라도 1~4번 노드의 식을 통해서 전류를 구할 수 있다.

 

제 2 법칙. 키르히호프의 전압 법칙(Kirchhoff's voltage law: KVL)

 

: 임의의 폐경로에 대한 전압의 대수적 총합은 0이다.

 이는 임의의 폐경로를 따라 단위 전하를 일주시키는 데 소요되는 일은 0이라는 것을 의미한다.

 

 

 v_j(t)는 N개의 전압을 갖는 폐로 내의 j번째 가지의 양단 전압이다.

 전류 법칙에서는 전류가 들어가느냐 나오느냐에 따라 전류의 부호가 달라졌었다. 전압 법칙에서는 전압의 극성에 따라 부호가 달라진다. 회로를 따라 움직일 때 증가되는 에너지와 감소되는 에너지를 합하면 0이 되어야 한다. 에너지와 전압의 관계 때문에 전압 법칙은 에너지 보존에 근거한다.

 즉 각 회로 소자를 통과할 때 에너지가 증가하느냐 감소하느냐가 중요하다. 우리는 에너지의 감소를 양(+)으로, 증가를 음(-)으로 정한다.

 

 

 이러한 기본적인 회로도가 있을 때 KVL을 적용하는 방법은 각각의 폐로(loop)를 적용시키면 된다.

 

(@loop1) - V1 + Vr1 + Vr2 = 0
(@loop2) V2 - Vr2 + Vr3 = 0
(@loop3) Vr1 + Vr3 +V2 - V1 = 0

 

 여기서도 마찬가지로 1~2번 폐로의 식을 더하면 3번 폐로의 식이 된다. 1~2번의 식은 서로 선형 독립임을 알 수가 있다. 따라서 이 회로의 전압을 구하는 데에는 처음 2개의 방정식만 있으면 구할 수 있게 된다.

 

전압을 표기하는 여러 가지 등가 형태

 

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