회로이론(6) : 단일 마디쌍 회로 [전류 분배 및 다중 전원/저항 회로]

단일 마디쌍 회로

(1) 전류 분배

 

단순 병렬회로

 

 이 단일 마디쌍 회로의 각 폐로에 KVL을 적용하면 모든 소자의 양단 전압은 v(t)로 동일하다는 것을 알 수 있다. 그래서 병렬로 연결되어 있다고 한다. 전류 i(t)는 회로의 node(a)로 흘러들어 가고, i₁(t)와 i₂(t)는 이 마디로부터 흘러나온다.  키르히호프의 전류 법칙에 의해 들어간 전류와 나온 전류는 같아야 하므로 KCL과 옴의 법칙을 이용하여 회로를 해석하도록 한다.

 node(a)에 KCL을 적용하면

 

i(t) = i₁(t) + i₂(t)

 

 옴의 법칙을 적용하여 식을 다시 쓰면

 

i(t) = v(t) / R₁ + v(t) / R₂
    = (1 / R₁ + 1 / R₂) · v(t)
    = v(t) / R_p                   * 1 / R_p = 1 / R₁ + 1 / R₂
∴ R_p = R₁ · R₂ / (R₁ + R₂)

 

 병렬로 연결된 두 저항의 등가 저항은 두 저항의 곱을 저항의 합으로 나눈 것과 같다. 그리고 등가 저항 R_p는 항상 R₁이나 R₂보다 반드시 작다. 그렇기 때문에 저항을 병렬로 연결하여 전체 저항을 줄일 수 있다는 것을 알아두자. R₁과 R₂가 같은 경우 등가 저항 R_p는 하나의 저항값의 1/2가 된다. 만약 3개의 저항이 같다면 등가 저항 R_p는 1/3이 된다.

 

always R_p < R₁ and R₂

if  R₁ = R₂ = · · · =R_n
    R_p = R / n

 

 전원으로부터 전류 i(t)가 몇 개의 가지로 나뉘어서 흐르는 것을 전류 분배(current division)라 한다. 위의 회로에서 i₁(t)와 i₂(t) 각각의 전류를 구할 때 옴의 법칙을 추가로 활용하면 된다.

 

v(t) = R_p · i(t)
     = {R₁ · R₂ / (R₁ + R₂)} · i(t)

i₁(t) = v(t) / R₁
      = {R₂ / (R₁ + R₂)} · i(t)

i₂(t) = v(t) / R₂
      = {R₁ / (R₁ + R₂)} · i(t)

 

(2) 다중 전원 회로

 

다중 전원 회로와 등가 회로

 

 이러한 회로를 보면 여러 개의 전류원과 저항들이 병렬로 연결되어 있다. 언뜻 보기에는 복잡해 보일 수도 있지만 node에 대해 들어가고 나오는 전류에 중점적으로 먼저 해석을 하면 매우 간단한 회로이다. 

 회로도(a)에서 node(a)가 node(b)보다 v(t)만큼 전압이 높다고 가정하고, node(a)에 대하여 KCL을 적용하면

 

i₁(t) - i₂(t) - i₃(t) + i₄(t) - i₅(t) - i₆(t) = 0

or

i₁(t) - i₃(t) + i₄(t) - i₆(t) = i₂(t) + i₅(t)

 

이렇게 두 가지의 식이 얻어진다. 아래의 식은 좌변 항은 모두 전류원으로 나타내고 있으며, 대수적으로 합하여 하나의 전원으로 나타낼 수 있다. 하나의 전원으로 나타낸 등가회로가 회로도(b)이다. 회로도(b)로 등가 한 KCL 식은 보다 단순해진다.

 

i₀(t) = i₁(t) - i₃(t) + i₄(t) - i₆(t)

i₀(t) = (1/ R₁ + 1 / R₂) · v(t)

 

(3) 다중 저항 회로

 

다중 저항 회로와 등가 회로

 

 이 회로와 같이 n개의 저항이 병렬로 연결되어 있는 회로에서 node(a)에 KCL을 적용하면

 

i₀(t) = i₁(t) + i₂(t) + · · · + i_n(t)
      = (1/R₁ + 1/R₂ + · · · + 1/R_n) · v(t)

or


i₀(t) = v(t) / R_p

 

 

 임의의 가지에 대한 전류 분배 값은 옴의 법칙을 이용하여 구할 수 있다. 이 회로에서 j번째 가지에 대한 전류를 구한다고 하면

 

i_j(t) = v(t) / R_j
     = (R_p / R_j) · i₀(t)

 

 이 식은 일반적인 경우에 대한 전류 분배 법칙을 정의한다. 회로가 복잡해진다면 이 식을 적용하기가 어려울 것이다. 그래서 회로 해석 방법의 가장 기본이 되는 KVL, KCL, 옴의 법칙의 원리에 대해 이해하기를 바란다.

 

(4) 단일 마디쌍 회로 해석 순서

 

1. 회로의 두 마디 간 전압 v(t)를 정한다. 단일 마디쌍 회로에서는 단지 하나의 전압만 존재함을 KVL을 통해 알 수 있다. 마디 중 하나를 기준 마디로 정하고 기준 마디가 아닌 마디를 전위차가 더 높다고 가정하여 전압의 극성을 설정한다.

2. 옴의 법칙에 따라 각 저항에 흐르는 전류를 위에서 정한 전압의 항으로 나타낸다.

3. 두 마디 중 한 마디에 KCL을 적용한다.

4. 단일 KCL 식을 v(t)에 대해 푼다. v(t)의 값이 양이면 기준 마디가 실제로 다른 마디보다 전압이 낮은 것이고, v(t)가 음의 부호이면 기준 마디가 다른 마디보다 전위차가 높은 것이다.

 

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