[전기전자공학 실험] 직류회로에서의 측정(키르히호프의 법칙) : 예비보고서

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1. 개요

저항의 직병렬회로에서 키르히호프의 전압법칙과 전류법칙이 성립함을 실험적으로 확인함으로써 복잡한 회로의 해석능력을 배양한다.

 

2. 이론 

키르히호프의 전압법칙 

고리법칙(Loop rule)이라고도 하며, 모든 닫힌 회로에서 각 소자를 지나갈 때 전위차의 합은 0이다.

 즉, 전기회로 내에서 어느 지점에서 다른 지점 사이의 전위차는 두 지점 사이를 연결하는 회로요소들의 양단에 나타나는 전압의 합과 같다. 따라서 회로를 따라 어떤 경로를 거쳐 원래의 출발지점으로 돌아왔을 때 그 경로(loop)상에 존재하는 회로요소들의 전압을 모두 합하면 0이 된다

 이 법칙은 에너지 보존의 법칙을 따른다. 닫힌 회로의 고리를 다라 한 양전하가 움직인다고 가정해도 충분하다. 전하가 출발점에 돌아오면 전하-회로 계는 전하가 출발하기 전의 에너지와 같은 전체 에너지를 가져야 한다. 전하가 회로의 어떤 소자를 지나갈 때 증가한 에너지의 전체 합은 전하가 회로의 다른 소자를 지나면서 감소한 에너지의 전체 합과 같아야 한다. 양전하는 저항기 양단의 전압 강하 -IR을 통하여 지나가거나 기전력원의 역방향으로 이동할 때 위치 에너지가 감소한다. 이 전하의 위치 에너지는 전지의 음극에서 양극으로 지날 때만 증가한다.

 키르히호프의 전압법칙을 적용할 때 고리를 따라 순환하는 것처럼 생각하고, 위치 에너지의 변화보다는 전위의 변화를 고려한다. 이 법칙을 적용할 때 아래와 같은 부호의 규정에 유의해야한다.

1) 전류의 방향으로 저항기를 지날 때 전하는 저항기의 높은 전위로부터 낮은 전위로 지나가므로, 저항기에서의 전위차 델타V는 -IR이다. [그림a]

2) 전류의 반대 방향으로 저항기를 지날 때 저항기에서의 전위차 델타V는 +IR이다. [그림b]

3) 기전력의 방향(음극에서 양극)으로 기전력의 원천(내부 저항이 없다고 가정)을 지날 때 전위차 델타V는 +입실론이다. [그림c]

4) 기전력의 반대 방향(양극에서 음극)으로 기전력의 원천(내부 저항이 없다고 가정)을 지날 때 전위차 델타V는 -입실론이다. [그림d] 

 위의 규정에 따라 아래의 회로에서 각 경로의 방정식을 구할 수 있다.

 

경로 A :  -V1+R1I1-R2I2+V2-R5I2+R4I1=0         ...식(1)

경로 B :  -V1+R1I1+R3I3+R4I1=0                    ...식(2)

경로 C :  -R2I2+V2-R5I2_R3I3=0                     ...식(3)

 

 회로를 분석하는 데 있어서 키르히호프의 법칙을 적용하는 횟수에는 제한이 있다. 한 분기점 방정식에서 사용되지 않은 전류를 포함하는 한 새로운 분기점에서 분기점 법칙을 적용하여 필요한 만큼의 방정식을 세울 수 있다. 일반적으로 분기점 법칙을 적용할 수 있는 횟수는 회로 내의 분기점 수보다 하나 적다. 이어서 회로의 고리들에 대해 고리 법칙을 적용하는데, 모든 고리에 대해 다 그럴 필요는 없고 미지 전류를 계산하기에 충분한 수의 방정식만 얻으면 된다. 일반적으로 특정한 회로 문제를 풀기 위해서 필요한 독립적인 방정식의 수는 미지 전류의 수와 같아야 한다.

 

키르히호프의 전류법칙 

 분기점의 법칙(Junction rule)이라고도 하며, 모든 분기점에서 전류의 합은 0이다. 

 이 법칙은 전하 보존에 대한 설명이다. 회로 내의 전하는 한 분기점에서 쌓일 수 없으므로 그 분기점으로 흘러 들어가는 전류는 모두 흘러나온다. 이 법칙에서 분기점으로 흘러 들어가는 전류를 +I라 하고 분기점으로부터 흘러 나가는 전류를 -I라 한다.

 그림 1의 회로에서는 두개의 분기점 X와 Y가 있다. 이들 분기점에서 이 전류법칙을 적용하면 다음과 같은 식이 성립한다.

분기점 X : I1+I2(흘러 들어오는 전류)=I3(흘러 나가는 전류)          ...식(4)

분기점 Y : I3(흘러 들어오는 전류)=I1+I2(흘러 나가는 전류)          ...식(5)

 

 위의 두 식은 서로 다른 분기점에 대한 식이긴 하지만 전적으로 동일한 식임을 알 수 있다. 따라서 주어진 회로의 경우에서는 키르히호프의 전류법칙을 적용하였을 때 하나의 식만이 나타난다고 할 수 있다. 그 이유는 회로 안에서 서로 다른 전류 I1, I2, I3가 하나의 식 안에 모두 포함되었기 때문이다.

 보다 일반적인 형태로 키르히호프의 전류방정식을 표현하자면 ‘어떤 분기점에 대해서 그 분기점에 접속된 모든 방향에서 흘러 들어오는(혹은 흘러 나가는) 전류의 합은 0이다.’ 예를 들어 위의 예에서 분기점 X에 모든 방향에서 흘러 들어오는 전류를 합하여 전류방정식을 쓰면

I1+I2-I3=0

이 된다. 이식을 세움에 있어서 가정된 전류 방향이 흘러 들어오는 방향이면 양의 값으로, 흘러 나가는 방향이었으면 음의 값으로 취하고 있음을 알 수 있다.

 

키르히호프의 법칙에 의한 회로해석 

 위에서 유도한 바와 같이 키르히호프의 전압법칙과 전류법칙을 적용, 회로방정식을 세우면 이를 사용하여 회로 내의 상태를 계산해낼 수 있다.

 전압방정식 식(1), (2), (3) 중 임의의 두개와 식(4) 또는 (5)를 취하면 세개의 독립적인 식이 얻어진다. 만일 이들 식에서 V1, V2와 모든 저항값을 알고 있다면 이들은 세 개의 미지수 I1, I2, I3에 대한 세 개의 방정식이 된다. 이들을 연립하여 풀면 주어진 기전력과 저항값에 대하여 회로 내 각 부분에 흐르는 전류가 구해진다.

 일반적으로 말하자면 회로 내의 서로 다른 모든 요소들 양단의 기전력을 포함하고 회로 내의 서로 다른 모든 전류들을 포함한 식이 세워지면 이들을 사용하여 회로 내 각 부분의 전압, 전류를 계산해 낼 수 있다.

 

중첩의 원리(Superposition) 

 2개 이상의 전원을 포함한 회로에서 어떤 점의 전위 또는 전류는, 각 전원이 단독으로 존재한다고 했을 경우 그 점의 전위 또는 전류의 합과 같다. 이것을 중첩의 원리라고 하며, 중첩의 원리가 성립하는 회로를 선형회로라고 한다. 이 원리를 이용하면 2개 이상의 전원을 포함한 회로에서 각 가지의 전류 또는 전압은 전원들을 순차적으로 하나씩 작동시키면서 얻은 응답을 구하여 합산함으로써 간단히 구할 수 있다. 이때 전압원을 0으로 만들 때는 쇼트를 시켜야 하고 전류원일 때는 개방해야 한다.

 

3. 실험기기 

테스터, 직류전원장치(dual), 직류전압계(10V), 직류전류계(100mA), 만능기판, 만능기판용 전선, 스트리퍼, 저항 330Ω, 470Ω, 2.2kΩ, 3.3kΩ, 각 1개씩, 1.5kΩ 2개

 

4. 예비보고서 문제풀이 

1) 그림 1의 회로에서 전류 I1, I2, I3에 대한 해를

a. 식 (1), (2), (4)를 사용하여 구하라.

b. 식 (2), (3), (4)를 사용하여 구하라.

c. 식 (1), (3), (4)를 사용하여 구하라.

 

2) 그림 1의 회로에서 기전력이 V1=10V, V2=15V로 주어지고 저항값이 R1=330Ω, R2=2.2kΩ, R3=3.3kΩ, R4=1.5kΩ, R5=470Ω이라고 할 때 위의 1항의 결과를 적용하여 각 부분의 전류와 모든 저항의 양단에 걸리는 전압을 계산하라.

 

5. 실험순서 

2) 주어진 저항들로 예비보고서 2항에서와 같이 그림 1의 회로를 결선한다.

3) 전원을 켜고 V1=10V, V2=15V가 되도록 조정한다.

4) 각각의 저항 양단의 전압을 테스터를 사용하여 측정하고 기록한다.

5) 4항에서 측정된 저항 양단 전압으로부터 I1, I2, I3를 계산한다. 이때 저항값은 공칭저항값이 아닌 1항에서 측정하였던 값을 사용한다. 이 값이 예비보고서에서 계산된 값과 거의 일치하는가? 만일 그 값에 현저한 차이가 있다면 회로 결선상태를 면밀히 검토해서 오류를 찾아내도록 한다.

6) V1은 그대로 두고 V2가 거의 0이 되도록 전압을 최대한 낮춘다. 이 상태에서 4항을 반복하고, I1, I2, I3를 계산한다.

7) V2를 다시 15V로 맞추고 V1이 거의 0이 되도록 전압을 최대한 낮춘다. 이 상태에서 4항을 반복하고 I1, I2, I3를 계산한다.

8) 6항에서 구해진 각 부분의 전압, 전류와 7항에서 구해진 각 부분의 전압, 전류를 더해 보았을 때 4항, 5항에서 구해진 값들과 거의 같은 값이 나오는가? 만일 그 값에 현저한 차이가 있다면 회로 결선상태와 실험 과정을 다시 반복해서 점검하여 오류를 찾아내도록 한다.

9) V1=12V, V2=10V가 되도록 전원을 조정하고 이 상태에서 4항을 반복하고 I1, I2, I3를 계산한다.

10) 그림 2의 회로를 결선한다. 여기서 R1~R5의 저항값은 앞서와 같고 R6=1.5kΩ 이다.

11) 결선된 회로에서 전원을 켜고 V1=10V가 되도록 조정한 다음 각 부분의 전압을 측정하고 전류를 계산한다. 실험결과가 각각의 가능한 경로와 분기점에 대해서 키르히호프의 전압법칙과 전류법칙을 만족하는지 확인한다. 만일 만족하지 않으면 결선상태와 측정과정을 면밀히 검토하여 오류를 찾아내도록 한다.

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